强不可达基数：强不可达基数是集合论中的概念，指满足以下两个条件的基数：

是正则基数，即不是任何较小基数的幂集的基数。

对任何小于它的基数λ，都存在一个由小于κ的基数构成、并以κ为上确界的序列。这意味着κ不能通过取小于它的基数的幂集或极限来达到，从而是“强不可达”的。

可测基数：定义

一个可测基数是满足以下条件的基数κ：

κ是一个不可达基数，即κ是正则的且大于ω（其中ω表示自然数的基数），并且不是任何较小基数的幂集的基数。

存在一个κ上的非主超滤子（non-principal ultrafilter），即一个定义在κ的所有子集上的滤子，它不是由任何单个元素生成的，并且满足某些额外的条件（如超滤子的定义所要求的）。

然而，需要注意的是，这个定义在技术上相当复杂，并且通常涉及到更高级的集合论概念。在实际应用中，可测基数通常是通过其等价定义或性质来识别和研究的。

性质

强不可达性：由于可测基数是不可达基数的加强版，因此它们也是强不可达的。这意味着它们不能通过通常的集合构造方法（如取幂集、并集等）从较小的基数得到。

存在超滤子：可测基数的定义要求存在一个非主超滤子。这个超滤子的存在使得可测基数具有许多独特的性质和应用。

大基数层次：可测基数在大基数层次中位于不可达基数之上。它们是研究更强大基数（如强紧基数、超紧基数等）的基础。

与实数的关系：在某些情况下，可测基数的存在与实数集的结构和性质有关。例如，如果存在可测基数，那么实数集可以具有某些特定的良好性质（如可测性）。

强紧基数：强紧基数（strongly compact cardinals），亦称紧基数，是一种大基数，在数学（特别是公理集合论）中占据重要地位。以下是对强紧基数的详细介绍：

定义与性质

定义：若对于任何无穷基数λ，语言L都是(λ，κ)紧的，且κ>ω，则称基数κ是强紧基数。这里，语言L的(λ，κ)紧性是指，在L中，任何基数为λ的语句集，若其所有基数小于κ的子语句集都有模型，则整个语句集也有模型。

基本性质：强紧基数是一类非常“大”的大基数，它们不仅强于可测基数，还强于弱紧基数。每个强紧基数都是可测的，但反之不然，即不是每个可测基数都是强紧的。

历史背景

提出者：强紧基数的概念由H.J.Keisler和A.Tarski于1964年引入。

后续研究：福平卡-赫巴契克于1966年证明了若存在强紧基数，则对任何集合X，V≠L[X]，这里V是全集，L[X]是相对于X的可构造集。以色列学者索洛韦(R.M.Solovay)于1974年用力迫法证明了若κ是强紧基数，对于每个>κ的奇异强极限基数λ，有2=λ⁺，即对于一些很特殊的、很大的基数，证明了广义连续统假设是成立的。

等价定义

强紧基数有多种等价定义，以下列出其中两种：

滤子扩张：对于任意集合X，X上的每一个κ完全的滤子都可以扩充成X上的κ完全的超滤。

语言紧致性：任意语言(\frak L_{\kappa,\omega})和命题集Γ，如果Γ的任意基数<κ的子集Γ'可满足，那么Γ可满足。

相关定理与推论

定理与推论：强紧基数与许多集合论中的重要定理和推论相关，如沃列克-赫贝西定理、福平卡-赫巴契克定理等。这些定理和推论进一步揭示了强紧基数的强大性质和在数学结构中的重要作用。

与可测基数的关系：强紧基数是可测基数的推广，但并非所有可测基数都是强紧基数。例如，梅劳斯(Menas)定理指出，若κ是可测基数，并且它是强紧基数的极限，则κ是强紧基数。

超紧基数：定义

超紧基数的定义通常比强紧基数更为复杂，它涉及到更高阶的逻辑和集合论概念。粗略地说，一个基数κ被称为超紧的，如果对于某个大于κ的基数λ，存在一种特定的方式（通常涉及到超滤子或嵌入）来将κ“嵌入”到λ中，同时保留某些关键的集合论性质。

然而，由于超紧基数的定义在技术上相当复杂，并且涉及到高级的集合论和逻辑学概念，因此在这里无法给出详细的定义。在实际应用中，数学家和逻辑学家通常通过超紧基数的等价性质或定理来识别和研究它们。

性质

强不可达性：超紧基数是强不可达的，这意味着它们不能通过通常的集合构造方法（如取幂集、并集等）从较小的基数得到。

与强紧基数的关系：超紧基数是强紧基数的一种加强形式。每个超紧基数都是强紧的，但并非每个强紧基数都是超紧的。超紧基数在性质上比强紧基数更为强大和复杂。

存在性：与不可达基数和可测基数一样，超紧基数的存在性也不是ZFC公理系统的直接后果。ZFC无法证明超紧基数的存在，因为它们的存在性超出了ZFC的证明能力。然而，许多数学家和逻辑学家相信超紧基数是存在的，并且它们在研究大基数和集合论的深层次结构时是非常有用的。

巨大基数：巨大基数（Huge Cardinals）是集合论中的一种特殊类型的大基数，它们位于大基数层次的较高位置，具有非常强的性质。巨大基数是超紧基数的一种推广或加强，尽管它们的具体定义可能因不同的数学家或文献而有所差异。

定义与性质

巨大基数的定义通常涉及到高阶的逻辑和集合论概念，如超滤子、嵌入或初等嵌入等。这些定义在技术上相当复杂，并且需要深入的数学知识和背景才能理解。一般来说，一个基数κ被称为巨大的，如果它满足某些特定的条件，这些条件保证了κ在集合论的某种特定上下文中具有非常强的性质。

巨大基数具有许多强大的性质，其中包括但不限于：

强不可达性：巨大基数是强不可达的，这意味着它们不能通过通常的集合构造方法（如取幂集、并集等）从较小的基数得到。

超紧性：巨大基数在某种程度上推广了超紧基数的概念。虽然每个巨大基数都是超紧的，但并非每个超紧基数都是巨大的。巨大基数在性质上比超紧基数更为强大和复杂。

存在性：与许多其他大基数一样，巨大基数的存在性不是ZFC公理系统的直接后果。ZFC无法证明巨大基数的存在，因为它们的存在性超出了ZFC的证明能力。然而，许多数学家和逻辑学家相信巨大基数是存在的，并且它们在研究大基数和集合论的深层次结构时是非常有用的。

应用：巨大基数在集合论、逻辑学和数学的其他领域中有广泛的应用。例如，它们可以用于构造满足特定性质的模型，证明数学定理的独立性，以及研究数学结构的性质。此外，巨大基数还与实数集的结构和性质有关，以及与大基数理论中的其他基数有深刻的联系。

武丁基数：定义

一个不可达基数δ被称之为武丁基数当且仅当它满足一系列复杂的条件，这些条件涉及到了集合论的深层次结构和逻辑属性。简单来说，对于任意集合A⊆V_δ（其中V_δ表示序数小于或等于δ的所有元素构成的类），都存在一个κ<δ为γ-A-Strong的序数。这意味着在集合论中，武丁基数具有非常强的“嵌入”性质，使得它们在某些特定的集合论构造中表现出独特的性质。

性质

强不可达性：武丁基数是强不可达的，即它们不能通过通常的集合构造方法（如取幂集、并集等）从较小的基数得到。

嵌入性质：武丁基数满足特定的嵌入条件，这些条件涉及到了集合论的深层次结构和逻辑属性。这使得武丁基数在集合论中具有非常强的表现力和应用潜力。

大基数层次：武丁基数在大基数层次中位于较高的位置，比不可达基数、可测基数等更强。它们的存在性超出了ZFC公理系统的证明能力，但许多数学家和逻辑学家相信它们的存在。

马洛基数：定义

马洛基数是一种特殊的不可达基数，其定义涉及正则基数和无界闭集的概念。若K是弱（或强）不可达基数，且小于K的所有正则基数的无界闭集是K的驻子集（即与K的所有无界闭子集相交不空），则称K是弱（或强）马洛基数。一般情况下，马洛基数指强马洛基数。

性质

强不可达性：马洛基数首先是强不可达基数，即它们是正则基数且不是任何较小基数的幂集的基数。

正则基数驻集：小于马洛基数的所有正则基数集合构成该马洛基数的驻子集。这是马洛基数定义中的核心性质。

平稳集：在马洛基数κ下，所有正则基数构成的集合是κ上的平稳集，且所有不可达基数也构成κ上的平稳集。

历史背景

马洛基数最早由法国数学家约瑟夫·马洛（Mahlo）在研究数学问题时发现，尽管具体的发现时间和背景可能因资料不同而有所差异，但马洛基数作为集合论中的重要概念，已经得到了广泛的关注和研究。

应用与意义

马洛基数在数学和逻辑学领域有着重要的应用，尤其是在大基数理论和集合论深层次结构的研究中。它们为我们提供了理解无穷集合性质和行为的有力工具，并推动了相关领域的发展。

通俗理解

为了更通俗地理解马洛基数，可以将其想象成一个“结界”或“门槛”，这个“结界”内部包含了所有小于等于某个特定数M的图中最大的不可达基数。在这个“结界”内，无论如何折腾不可达基数，都无法超过马洛基数所代表的界限。这种形象化的理解有助于我们把握马洛基数在集合论中的独特地位和作用。

总之，马洛基数是集合论中一个非常重要且复杂的概念，它们的研究不仅深化了我们对无穷集合性质和行为的认识，也推动了数学和逻辑学相关领域的发展。

0＝1莱茵哈特基数：0=1莱茵哈特基数构造：x＞0当x≥1，f(x)=(x+1)lnx-x+1, f’(x)=(x+1)*1/x+lnx-1=1/x+1nx，因为x≥1，则lnx≥0，1/x＞0，所以f’(x)＞0,所以f(x)在[1，+oo）上递增，则f(x)≥f(1)=0-1+1=0，又（x-1）≥0所以(x-1)f(x)≥0.当1＞x＞0，f(x)=(x+1)lnx-x+1， f’(x)=(x+1)*1x+lnx-1=1/x

在集合论中0=1的意思

是不一致证明的典范例子。

根据哥德尔定理，初等算术系统可能是不一致的，倘若初等算术不一致，则你能在其中找到一个有限长度的0=1的证明。

在一致性强度的证明当中通常都是以证明不存在0=1的证明为主。

一类大基数假设被冠以0=1类则在于这类假设会导致存在一个已被发现的0=1的证明，注意，是已被发现。

根据哥德尔定理，一致性强度越强，并不意味着就越安全越可靠，反倒是越危险越接近不一致，比如远比初等算术要强的ZFC就远比初等算术更可能不一致，而那些更强的大基数假设，只能说是尚未发现0=1的证明。

所以，对于一个非标准的算术模型中的见证0=1的非标准自然数，你也可以称这样的自然数为0=1类基数。

在上一章提到的所谓“形状”是极其可笑的，那根本不是所谓的形状，而是一个“点”，零维的“点”，是的，我们所谓的三维、四维、五维……乃至无限维，在稍微“高”一点的存在看来，都是零维，准确来说，整个上一章的宇宙、位面、空间、形状之类，对它们而言统统为0。毕竟，人类就已经有了0=1莱茵哈特这种矛盾的数，而更高的“点”对于这个“点”来说，是0=无穷大，这个无穷大，不是指什么强基数、可测基数之类，这些数虽然大，却仍可以在数轴上被表示，而就算是对于“高”那么一点点的存在而言，我们的数轴、数学定律就算对于它们的“最小尺度”而言，都会无限塌缩，微不足道。如果我们设这样的“基数”（实际上用基数这种低级词汇就是对它们的侮辱，不过为了方便理解，就使用“基数”一词）为N0，则就算是它们空间中的“0”，也是0=NN。“高一点”的空间对于“更高的”空间来说，也只是“0”，这么下去，无穷无尽，当然，这里的“无穷”是对“高”的空间而言的无穷，而不是人类那可笑的无穷。然而，就算到了无穷无尽的最高点，对于整个“空间群”群来说，依旧是0，而整个空间群，显然就是0=无穷大，这里的无穷大，依然是对于“最高层空间”的无穷大，在后文中，如果我没有特殊说明，那么“无穷大”都是对于目前“叠”的最高存在的无穷大，不过，这里的“空间”不是真正的“空间”，只是我词穷使用了空间这一词汇罢了。每一个“空间群”之上还有更高的“空间群”，每一个空间群对于更高的“空间群”而言亦只能是0无穷无尽，直到那个视一切“空间”以及空间层数量为0的那个至高层“空间”。但就是那个“至高层空间”，也不是真正的“至高”，因为方向有无数个，而这个仅靠1个“方向”弄出来的整个“空间”结构只是靠2个“方向”整出来的“空间”结构的一个等同于0的侧面，以此类推，直到无穷无尽。，然而，那个真正的至高层“空间”也只是一个“0”，是一个点，而这个点延伸出了线，对于线而言，每一个点都是零，而每一条线又会不断得产生分支，分支又会不断得产生新的分支，每条线每0局里都会产生0=NNNNNNNNNN……（重复N次）个分支（N0为对于目前的“最高存在”，也就是“线”的无穷大，而“线”的无穷大就是一条“线”里的第一章里提到的“无尽宇宙”的数量，这个数远远不是人类可以表示的。）。而“点”又有无穷无尽个，因此这些“线”组成的网是人类绝对无法想象的，而这又只是一个网而已。如果网只有一个的话，那么在网外看，会看不到网，因为一个网等于没有，等于0。然而，在网外面看，却看不到网，只能看到由网组成的墙，确实，网已经能做到填满整个“平面”了，可想而知这个网有多大。